Wave turbulence

Participants

Arezki Boudaoud (organiser), Colm Connaughton, Walter Craig, Thierry Dauxois, Gustavo Düring, Miguel Escobedo, Eric Falcon, Jason W. Fleischer, Sébastien Galtier, Christophe Josserand (organiser), Elena Kartaschova, Sergei Lukaschuk, Nicolas Mordant, Sergey Nazarenko, Alan Newell, Yves Pomeau, Stéphane Randoux, Sergio Rica (organisateur), Cédric Villani.

Eric Falcon Sergey Nazarenko Nicolas Mordant Stéphane Randoux Walter Craig Sergio Rica Alan Newell Colm Connaughton Miguel Escobedo Elena Kartaschova Arezki Boudaoud Jason W. Fleischer Gustavo Düring Sébastien Galtier Cédric Villani Christophe Josserand Thierry Dauxois Sergei Lukaschuk Yves Pomeau

Review (in French)

Wave turbulence
by Christophe Josserand
12 – 17 July, 2010

Du bord de la plage ou depuis un bateau en pleine mer, l’observation des vagues reste un sujet de fascination partagé par tous. En effet, que l’on soit artiste, scientifique ou simple spectateur, comment ne pas être séduit par le mouvement incessant de la houle et des vagues, leurs variations et leurs déferlements ! Tels des êtres ou des objets, ne dit-on pas couramment que ces vagues se « croisent », se « traversent », se « brisent » ou se « cassent » ? Loin de se limiter à la simple observation des vagues sur l’eau, cette problématique est au cœur d’une question scientifique générale qui se retrouve dans des contextes physiques aussi divers que les ondes dans les plasmas, l’optique non-linéaire, les condensats de Bose-Einstein ou les ondes électromagnétiques en astrophysique, par exemple. Comment appréhender le jeu complexe des interactions entre des vagues dont les tailles et les vitesses peuvent varier dans de grandes proportions ? Car, si l’on sait décrire depuis longtemps une onde à la surface de l’eau, que l’on peut à la limite interpréter comme une superposition de  série de vagues identiques régulières  (problème linéaire), il s’agit d’une toute autre histoire de considérer l’interaction (non-linéaire) entre diverses ondes. Les travaux fondateurs dans ce domaine ont été réalisés à la fin des années 1950 et dans les années 1960 : ils consistaient à caractériser analytiquement les propriétés statistiques de ces ondes sur de très longues échelles de temps. Par analogie avec la turbulence traditionnelle, il a été montré que les fluctuations des quantités pertinentes (par exemple l’élévation de la surface de l’eau) devaient suivre des lois d’échelles bien définies, appelées spectres de Kolmogorov-Zakharov. On parle donc de turbulence d’onde ou turbulence faible (car les calculs sont effectués dans une limite où les termes non-linéaires restent faibles). Depuis ces travaux, plusieurs études avaient concerné l’observation de ces spectres principalement dans le cas d’ondes de surface. Cependant, au cours des dix dernières années de nombreux résultats ont apporté un éclairage nouveau sur le sujet. Par exemple, l’observation de dynamiques proches de la turbulence d’onde en optique non-linéaire et dans le domaine des plaques vibrantes a élargi les champs d’application. Cela a également permis de tester les prédictions théoriques avec plus d’acuité. D’autre part, des expériences en microgravité sur les ondes de surface ont aussi permis de bien séparer les régimes de cascades prédits par la théorie. L’amélioration des méthodes et de la puissance numériques a également conduit à l’obtention de résultats importants sur des situations peu envisageables en laboratoire.
Finalement, le développement d’approches mathématiques adaptées permet d’envisager prochainement des résultats exacts sur les domaines de validité des théories physiques développées jusqu’à présent. La confrontation entre ces approches, et leurs accords et désaccords, semblent ouvrir de nouvelles voies.
C’est dans ce contexte d’évolutions récentes et d’interactions scientifiques fructueuses que le séminaire « Wave Turbulence » a été organisé à la Fondation des Treilles. Les différents domaines d’application de la turbulence d’onde et une grande variété de points de vue contradictoires ont pu être confrontés, gage de réussite pour cette rencontre.
La première matinée a été consacrée à deux présentations générales du sujet, avant de développer les résultats les plus récents.
Ainsi, pour commencer, Alan Newell, à l’origine de nombreux résultats fondamentaux sur le sujet, a rappelé les concepts principaux en turbulence d’onde : en particulier, une fois les spectres de Kolmogorov-Zakharov obtenus, il a expliqué comment une analyse détaillée des temps caractéristiques en jeu permet de décrire un spectre particulier, appelé spectre de Philipps.
Ensuite, Walter Craig a discuté les aspects mathématiques de la description d’ondes non-linéaires en interaction. Il a notamment présenté des théorèmes importants dont l’extension aux ondes non-linéaires est nécessaire pour obtenir une description mathématique complexe de la turbulence d’onde.
Suite à ces exposés généraux sur le sujet, trois cas d’interactions non-linéaires d’ondes ont été discutés dans la session de l’après-midi. Sergei Lukaschuk a décrit les spectres obtenus expérimentalement pour les ondes à la surface de l’eau. Tout en étant la situation originale du développement de la théorie de la turbulence d’onde, cette configuration est très complexe et se révèle très difficile à analyser. En effet, outre le mélange entre les ondes capillaires et les ondes de gravité, le rôle de la profondeur d’eau, la forme et l’intensité du forçage (la manière dont elles sont créées) semblent cruciaux et plusieurs types de spectres peuvent être obtenus finalement.
Dans sa présentation, Yves Pomeau a fait remarquer que la source du forçage des ondes  est un aspect important peu pris en compte dans la théorie classique de turbulence d’ondes : ainsi dans le cas des ondes à la surface des océans, les vagues étant générées par le vent à la surface de l’eau, un petit paramètre doit être pris en compte dans la théorie.
Thierry Dauxois a conclu cette journée par une présentation sur les ondes de gravité internes et sur la possibilité d’obtenir de la turbulence d’onde dans ce cas.
Le lendemain matin a été consacré a un aspect récemment mis en avant de la turbulence d’onde : le lien entre cette dynamique et un processus de condensation classique d’ondes. Sergio Rica a montré comment dans le cadre d’un modèle de gaz quantique on pouvait avoir la formation d’un condensat par simple thermalisation du système. Ce résultat permet justement de bien montrer que la condensation est en fait un phénomène intrinsèquement classique.
Sergei Nazarenko a discuté l’extension de cette approche au cas bidimensionnel qui représente un cas limite de la condensation.
Finalement Jason Fleischer a montré comment ces résultats théoriques pouvaient s’appliquer au cas d’ondes en optique non-linéaire.
L’après-midi suivant a été consacré à un domaine d’application de la turbulence d’onde qui s’est rapidement développé ces dernières années : les plaques vibrantes sur lesquelles Christophe Josserand a rappelé les résultats théoriques obtenus. Ce nouveau domaine d’application de la turbulence d’onde est riche de nombreuses promesses notamment grâce à la variété des mesures possibles et des conditions expérimentales.
Comme l’ont montré ensuite Arezki Boudaoud puis Nicolas Mordant, les résultats expérimentaux sont en désaccord avec la théorie ce qui ouvre d’intéressants développements de la turbulence d’onde avec la prise en compte, par exemple, des conditions aux limites, de la dissipation ou d’effets non-linéaires supplémentaires.
Le jour suivant, Cédric Villani a exposé quelques résultats exacts obtenus sur une dynamique d’ondes particulière conduisant à un effet d’atténuation non-dissipatif appelé « Landau damping ». Il a notamment insisté sur la difficulté d’obtenir des résultats exacts lorsque les non-linéarités étaient présentes, ce qui présente le défi principal de la turbulence d’onde. Miguel Escobedo a ensuite expliqué les résultats exacts connus pour une équation de cinétique assez proche des dynamiques de  condensation.
Stéphane Randoux a montré un autre domaine d’application de la turbulence d’onde, l’optique non-linéaire pour laquelle des dynamiques de thermalisation partielle d’un système peuvent être observées.
Le dernier jour, Elena Kartachova a discuté la formation explicite en dynamique discrète de la cascade entre les ondes responsables du spectre observé.
Ensuite, Colm Connaughton a décrit le cas particulier de turbulence à trois ondes.
Sébastien Galtier a montré comment les concepts de turbulence d’onde s’appliquaient à l’astrophysique.
L’après-midi, deux présentations sur les ondes à la surface d’un fluide ont conclu cette rencontre. Dans un premier temps les résultats récents d’Eric Falcon ont fait écho à ceux présentés en début de semaine. Puis, Gustavo Düring a montré les résultats d’une expérience élégante à l’interface entre deux fluides dans laquelle les caractéristiques des non-linéarités peuvent varier.
Toutes les sessions ont donné lieu à d’importantes séances de questions et discussions avant la table ronde finale. Au-delà de la variété des résultats expérimentaux et théoriques présentés, ce séminaire a fait ressortir les caractéristiques communes à ces problèmes: la déduction de l’équation cinétique sous-jacente, le rôle du forçage et des conditions aux limites, l’influence de la dissipation en particulier. Il nous a ainsi  été permis de faire le point sur les connaissances actuelles et, en même temps, de dessiner les directions de recherche à venir.

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