Quantum theories and geometry

The purpose of the Quantum Theories and Geometry meeting organized at the Treilles Foundation from 23-27 March 1987, was to discuss some of the areas where the interactions between physics and geometry are most important and where recent developments have been most dramatic. The program was broad and included a variety of themes; the number of lectures per day has been kept at 3 or 4 in order to maximize exchanges and reflection. The impression of the organizers and various echoes collected, either from the participants or indirectly, indicate that the meeting was a success; many interactions have taken place at the Treilles Foundation and many of these interactions have materialized in subsequent collaborations.

Participants:

Robert Anderson University of Georgia Athens U.S.A. Physics – Mathematics
Ioannis Antoniou Université libre de Bruxelles Physics – Mathematics
Huzihiro Araki Research Institute for mathematical science Kyoto University Physics – Mathematics
Didier Arnal Université de Metz France Mathematics
Michel Cahen Université libre de Bruxelles Physics – Mathematics
Alain Connes Collège de France Mathematics
Jean-Claude Cortet Université de Dijon France Physics – Mathematics
Johannes Jisse Duistermaat (1942 – 2010) Rijksuniversiteit Utrecht Mathematics
Sergio Ferrara Dept. of physics – UCLA (et CERN – Genève) Theoretical Physics
Moshé Flato (1937 – 1998) Université de Dijon France Physics – Mathematics
Christian Fronsdal University of California Los Angeles Physics – Mathematics
Simonne Gutt FNRS – Université libre de Bruxelles Mathematics
Rudolf Haag Université d’Hambourg Physics
Bertram Kostant (1928 – 2017) Massachusetts Institute of Technology – Cambridge Representation Theory
Martin David Kruskal  (1925 – 2006) Princeton University Solitons, integrability asymptotics, etc.
Luc Lemaire Université libre de Bruxelles Mathematics
André Lichnérowicz (1915 – 1998) Collège de France Physique Mathematics and Geometry
Baidyanath Misra Institut Solvay ULB and Nehru University Theory of irreversibility statistics mechanics field theory
Bengt Nagel Royal Inst. Technology Stockholm Physics – Mathematics
John H. Rawnsley University of Warwick England Mathematics
Wolfgang Ch. Schmid Harvard University Mathematics
David John Simms Trinity College – Dublin Mathematics
Jacques Simon Université de Dijon France – Université de Bénin – Lomé – Togo Mathematics
Jean-Marie Souriau (1922 – 2012) Université de Provence Centre Physique théorique CNRS Mathematics
Shlomo Sternberg Harvard University Mathematics – Physics
Daniel Sternheimer CNRS (Paris VI et Dijon) Physics – Mathematics
Ivan T. Todorov Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy – Sofia – Bulgarie Theoretical Physics

Title of talks:

Huzihiro Araki: Schwinger terms as a cyclic cocycle.

Didier Arnal: The * exponential.

Alain Connes: Multiplicative K – homology.

Johannes Jisse Duistermaat: «Quantized spherical pendulum».

Sergio Ferrara: Some geometric aspects of supergravity theories.

Christian Fronsdal: Towards a non abelian composite gauge theory.

Simonne Gutt: Some aspects of deformation theory and quantization.

Rudolf Haag: Quantum physics and gravitation.

Bertram Kostant: Geometric interpretation of the Schwarzian derivative and string theory.

Martin David Kruskal: Geometry of the complex plane for asymptotic continuation of solutions in semi-classical limit that vanish to all orders.

André Lichnérowicz: Deformation theory, statistical mechanics and K.M.S. condition.

Baidyanath Misra: Dynamical formulation and implications of irreversibility.

John H. Rawnsley: Harmonic spheres.

Wolfgang Ch. Schmid: Quantisation on coadjoint orbits.

Shlomo Sternberg: B.R.S, cohomology and the quantization of dimensional systems.

Review in French:

Trois exposés ont été consacrés à l’approche déformation de la mécanique quantique chère aux organisateurs et qui fait appel aux déformations des structures d’algèbre associative (les produits*) et d’algèbres de Lie des fonctions sur un espace de phase. A. Lichnérowicz présenta une approche déformation de la mécanique statistique classique et quantique. S. Gutt rappela les origines physiques des produits * et indiqua leurs applications en théorie des représentations et en analyse harmonique. D. Amal exposa une théorie rigoureuse de l’exponentielle * dans le cadre du groupe de Heisenberg et indiqua sa généralisation aux groupes nilpotents quelconques.

Deux exposés relevaient du domaine voisin de la quantification géométrique. Celui de J. Duistermaat aborda le problème du spectre de l’opérateur de Schrödinger et de l’opérateur moment angulaire sur l’espace de configuration du pendule sphérique ; il donna une description du spectre asymptotique en termes de la géométrie de l’application moment. Celui de W. Schmid fut consacré au problème de la globalisation des modules d’Harish Chandra pour les groupes semi-simples et il en donna une solution très « catégorique », dans laquelle la structure symplectique sur les orbites de la représentation co-adjointe intervient.

Les autres exposés ont été moins groupés par thème, bien que des recoupements nombreux se soient manifestés. Faisant en quelque sorte écho aux deux exposés précédents, on trouve ceux de B, Kostant et S. Sternberg (regroupés en une seule contribution dans les actes du colloque). B. Kostant présenta une interprétation géométrique du très classique opérateur différentiel Schwarzien lié aux représentations du groupe des difféomorphismes du cercle. S. Sternberg proposa un cadre très général pour la théorie des champs dans lequel on se donne deux sous-groupes (une « paire duale ») commutant l’un avec l’autre d’un grand groupe et une représentation unitaire du grand groupe admettant une décomposition en somme directe lorsque restreinte aux sous-groupes.

Ceci nous amène aux deux autres exposés traitant de la théorie des champs. S. Ferrara discuta des nombres caractéristiques liés à la super-gravité et à la théorie des super-cordes et donna des ordres de grandeur. C. Fronsdal explicita l’importance des singletons en théorie des champs et exposa la possibilité de construire une théorie composite invariance conforme pour le photon entre autres. Dans un domaine voisin, B. Misra souligna l’importance de l’approche théorie de la mesure pour l’étude des phénomènes irréversibles et étudia certaines propriétés des K-flots.

Des phénomènes physiques font souvent appel aux équations différentielles pour leur formulation et leur traitement.

Dans cet ordre d’idées, J. Rawnsley s’intéressa aux applications harmoniques d’une surface de Riemann dans un espace symétrique et montra les résultats précis que l’on obtient en imposant une condition de stabilité. M. Kruskal étudia des équations différentielles non linéaires dépendant d’un petit paramètre et montra comment obtenir des coefficients de transport ou de réflexion même dans le cas où les méthodes asymptotiques ne fonctionnent pas.

Les trois derniers exposés furent consacrés à la théorie des champs dans une formulation assez abstraite. Dans son exposé, H. Araki lia l’interprétation des termes de Schwinger à la cohomologie cyclique de Connes.

R. Haag discuta les difficultés fondamentales rencontrées pour incorporer la gravitation en théorie des champs. Enfin, A. Connes parla de K-homologie multiplicative et mit en place un cadre très général pour la formulation de la théorie quantique des champs.

Michel Cahen et Moshé Flato

 

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